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By V.Barutello, M.Conti, D.L.Ferrario, S.Terracini, G.Verzini

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Il Criterio di confronto permette di concludere che anche cn (x − x0 )n converge per |(x − x0 )| < |r|. Grazie al precedente risultato, possiamo ora dimostrare il teorema in questione. 8). Consideriamo ora la serie di potenze cn (x − x0 )n e studiamo la struttura del suo insieme di convergenza A. Se A = {x0 } oppure A = R ricadiamo nei primi due casi. Supponiamo allora che A contenga punti diversi da x0 ma non coincida con l’asse reale: questo significa che esiste y x0 tale che cn (y−x0 )n non converge.

Un fatto notevole che l’insieme di convergenza di una serie di potenze sia sempre un intervallo, centrato nel centro della serie x0 , eventualmente ridotto ad un solo punto o coincidente con R. Il teorema che segue afferma che questa situazione è del tutto generale. 8) Teorema. Data una serie di potenze sempre una delle seguenti situazioni ∞ n=0 cn (x La dimostrazione si trova nell’approfondimento a pagina 39. − x0 )n si verifica ① la serie converge solo per x = x0 ; ② la serie converge assolutamente per ogni x ∈ R; ③ esiste un numero reale R > 0 tale che la serie converge assolutamente per ogni valore di x con |x − x0 | < R e non converge per |x − x0 | > R.

Le funzioni di Bessel sono somme infinite di combinazioni di potenze della variabile x, sono infatti della forma ∞ cn x n n=0 dove (cn )n∈N è una successione di numeri reali assegnata. Le serie di potenze sono la naturale estensione della nozione di polinomio e di funzione elementare. Esse permettono di ampliare lo spettro delle funzioni note allo scopo principale di risolvere equazioni differenziali. 3) Esempio. Se scegliamo come coefficienti della generica serie di potenze cn ≡ 1, otteniamo la serie geometrica di ragione x, a noi ben nota dal primo volume: ∞ xn .

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